Il problema isoperimetrico in spazi di Carnot-Carathéodory

Abstract

Presentiamo risultati recenti ottenuti sul problema isoperimetrico in spazi di Carnot-Carathéodory legati al gruppo di Heisenberg. Questo è il contesto della congettura di Pansu sulla forma degli insiemi isoperimetrici. Presentiamo due diversi approcci. Da un lato, descriviamo il problema isoperimetrico negli spazi di Grushin, sotto un’ipotesi di simmetria che dipende dalla dimensione. In questo contesto, forniamo una classificazione degli insiemi isoperimetrici, valida per specifiche dimensioni. Dall’altro lato, presentiamo alcuni risultati sul problema isoperimetrico in una famiglia di varietà Riemanniane che approssimano il gruppo di Heisenberg. In questo contesto, studiamo superfici a curvatura media costante. Ispirati dalle tecniche di Abresch and Rosenberg sui differenziali quadratici olomorfi, classifichiamo gli insiemi isoperimetrici sotto un’ipotesi topologica.