Sulla media di superficie per le funzioni armoniche: una disuguaglianza di stabilità

Abstract

In questo articolo presentiamo alcuni degli aspetti principali e i risultati più recenti relativi al seguente quesito: Se la media integrale di superficie di ogni funzione armonica sulla frontiera di un insieme aperto D "quasi'' uguale al valore di queste funzioni in x₀ in D, allora D è "quasi'' una palla con centro x₀? Questa è la controparte di stabilità del quesito di rigidità (la frase sopra senza i due "quasi'') per il quale diverse risposte affermative sono note in letteratura. Una risposta affermativa al problema di stabilità è stata data in un articolo di Preiss e Toro, assumendo una condizione che si rivela sufficiente per ∂D ad essere geometricamente vicino a una sfera. Questa condizione, tuttavia, non è necessaria, anche per piccole perturbazioni Lipschitziane di domini lisci, come dimostrato nel nostro recente articolo, in cui si ottiene una disuguaglianza di stabilità assumendo solo una proprietà di regolarità locale del bordo di D in almeno uno dei suoi punti più vicini a x₀.