Su una congettura ancora aperta: teorema di Liouville positivo per operatori di Ornstein-Uhlenbeck ipoellittici

Abstract

Sia $\mathcal{L}$ l'operatore di Ornstein-Uhlenbeck ipoellittico relativo alla coppia di matrici $(A,B)$. Nel 2004, Priola e Zabczyk dimostrarono il seguente teorema di tipo Liouville: ogni soluzione intera e limitata di $\mathcal{L}u=0$ è costante se e solo se (*) ogni autovalore di $B$ ha parte reale minore o uguale a zero. Questo notevole risultato pose il seguente problema non ancora completamente risolto: se la condizione (*) è verificata è vero che ogni soluzione intera non-negativa di $\mathcal{L}u=0$ è costante? In questa nota, insieme con una rassegna sullo "stato dell'arte" delle ricerche su questo problema, presentiamo alcuni recenti nuovi risultati.