Regolarità del gradiente per equazioni ellittiche e paraboliche fortemente singolari o degeneri

Abstract

Presentiamo alcuni recenti sviluppi nella teoria della regolarità per soluzioni deboli di alcune classi di equazioni ellittiche e paraboliche fortemente singolari o degeneri. Le equazioni considerate soddisfano condizioni standard di crescita e di ellitticità di ordine $p$, tipiche degli operatori di tipo $p$-Laplaciano, ma soltanto all’esterno di una sfera centrata nell’origine. Nel setting ellittico, descriviamo risultati di regolarità di tipo Besov e Sobolev per opportune funzioni non lineari del gradiente delle soluzioni deboli, coprendo sia il caso subquadratico ($1<p<2$) sia quello superquadratico ($p\geq2$). Risultati analoghi sono ottenuti nel corrispondente contesto parabolico, dove si analizza la maggiore regolarità delle soluzioni rispetto alla variabile spaziale e a quella temporale, sotto opportune ipotesi sui termini noti.